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新航道解密SAT數(shù)學(xué)余數(shù)定理+因子定理

2017/4/28 14:47:30來源：互聯(lián)網(wǎng)作者：上海新航道

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摘要：中國數(shù)學(xué)的難度相比較于美國難很多，所以在SAT沒改革前，SAT數(shù)學(xué)滿分考生比比皆是。進(jìn)入新SAT時(shí)代后，從原來的33%提升到50%，從新SAT考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中不難發(fā)現(xiàn)能到800分的考生是非常罕見的，780分以上的也是寥寥無幾，大部分都集中在700—750之間。是什么原因造成這個(gè)看似簡單卻拿不到最高分的考試呢?要想考到一個(gè)好的分?jǐn)?shù)，除了日積月累的做練習(xí)題補(bǔ)充基礎(chǔ)，還要學(xué)會(huì)一些考試的技巧和解題的方

中國數(shù)學(xué)的難度相比較于美國難很多，所以在SAT沒改革前，SAT數(shù)學(xué)滿分考生比比皆是。進(jìn)入新SAT時(shí)代后，從原來的33%提升到50%，從新SAT考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中不難發(fā)現(xiàn)能到800分的考生是非常罕見的，780分以上的也是寥寥無幾，大部分都集中在700—750之間。是什么原因造成這個(gè)看似簡單卻拿不到最高分的考試呢?要想考到一個(gè)好的分?jǐn)?shù)，除了日積月累的做練習(xí)題補(bǔ)充基礎(chǔ)，還要學(xué)會(huì)一些考試的技巧和解題的方法才能有所突破，今天新航道SAT小編帶來的分享或許能助攻你的數(shù)學(xué)800。

很多同學(xué)發(fā)現(xiàn)未必能在考試中考到滿意的分?jǐn)?shù)，歸根結(jié)底是兩個(gè)原因：一是大量的文字信息題省查不到位，不能準(zhǔn)確定位考點(diǎn);二是做題方法不到位，導(dǎo)致簡單題目耗時(shí)過多，最終得不償失。

Remainder theorem and factor theorem 就是貫穿在SAT, ACT , SAT 2 數(shù)學(xué)當(dāng)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，今天我們且來對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行大解密。

Remainder theorem and factor theorem 余數(shù)定理和因子定理

If f(x)/(x-a) = g(x) with remainder r(x), then f(x) = (x- a)g(x) + r(x)

f(a) = (a-a)g(a) + r(a) = r(a) remainder

代入 x= a, f(a) = remainder

In particular, when x-a is a divisor/factor of f(x) if and only if f(a) = 0

先來看一題OG中的題目

For a polynomial p(x), the value of p(3) is ?2. Which of the following must be true aboutp(x) ?

A) x?5 is a factor of p(x).

B) x?2 is a factor of p(x).

C) x+2 is a factor of p(x).

D) The remainder when p(x) is divided by x?3 is ?2.

解析: 多項(xiàng)式p(x)，代入 x= 3不為0，表明 x= 3 不是方程的根，x-3不是方程的因子，應(yīng)符合余數(shù)定理，表明p(x) divided by x- 3，cannot be divisible, the remainder is -2. 正確選項(xiàng)為 D

因子定理是余數(shù)定理的一個(gè)特例，相當(dāng)于余數(shù)為 0

三種說法：

1. if x - a is a factor of f(x)

2. if f(x) is divisible by x - a

3. if f(x) divided by x+ a has no remainder

f(x) = (x - a)g(x)

f(a) = 0

再來一個(gè)例題：

The polynomial f(x) = x^3 + ax^2 + bx +2 isdivisible by (x+1) and by (x-2).

Find the value of a and of b, where

大部分同學(xué)可能會(huì)想嘗試國際學(xué)校的Long division method，也就是長除法。Of course you can, but it just kind of waste of time \@@/

Now let’s try a different method

divisible意味著可以整除，x + 1 和 x-2是多項(xiàng)式的因子，f(x)可以因式分解變成 f(x) = x^3 + ax^2 + bx +c = (x+1)(x+2)g(x)

? x = -1 時(shí)，代入原式， f(-1) = 0

f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2+ b(-1) + 2 = 0 化簡得 a –b +1 = 0

? x=2 時(shí)，代入原式，f(2) = 2^3+2^2a+2b+2=0化簡得10 + 4a +2b= 0

解方程組

a –b +1 = 0

10 + 4a +2b= 0 得 a = -2, b=-1

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